Варіаційний метод розв’язування бігармонічних задач для прямокутної області

Анотація

Розвинено варіаційний метод розв'язування бігармонічних задач для прямокутної області, на одній парі протилежних сторін якої функція і її нормальна похідна набувають нульових значень, а на іншій діють неоднорідні умови. Розглядаються випадки півбезмежної та скінченної області. Метод базується на мінімізації квадратичного функціонала, який за нормою L₂ визначає відхилення розв'язку від заданих неоднорідних умов. Для розв'язування цієї варіаційної задачі застосовано дещо відмінне від запропонованого раніше [8] розвинення розв'язку за системами комплексних бігармонічних функцій – так званих гармонійних розв'язків П. Ф. Папковича, які тотожно задовольняють задані однорідні умови на парі протилежних сторін прямокутника. Розглянуто декілька варіантів неоднорідних крайових умов, які виникають у задачах двовимірної теорії пружності. Наведено приклад застосування запропонованого методу для визначення розподілів напружень у прямокутній області, одна із сторін якої жорстко закріплена, а до протилежної сторони прикладено нормальні сили.