Надіслати цю статтю Стандартні форми матриць над кільцями відносно різних типів еквівалентностей і їх застосування в теорії факторизації матриць і матричних рівнянь
Анотація
Наведено огляд результатів досліджень одного з напрямків, що стосується еквівалентності матриць, започаткованого П. С. Казімірським і продовженого та розвиненого його учнями. Сформульовано стандартні форми поліноміальних матриць і їх скінченних наборів відносно напівскалярної еквівалентності та узагальненої еквівалентності пар матриць над кільцями. Наведено застосування таких стандартних форм при побудові методів факторизації матриць, розв’язуванні матричних рівнянь, опису структури розв’язків цих рівнянь, зокрема матричних рівнянь типу Сильвестра, матричних лінійних діофантових рівнянь і в інших задачах.
Зразок для цитування: В. М. Петричкович, “Стандартні форми матриць над кільцями відносно різних типів еквівалентностей і їх застосування в теорії факторизації матриць і матричних рівнянь,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 62, No. 4, 7–27 (2019).
Translation: V. M. Petrychkovych, “Standard forms of the matrices over rings with respect to various types of equivalence and their applications to the theory of matrix factorization and matrix equations,” J. Math. Sci., 265, No. 3, 345–368 (2022), https://doi.org/10.1007/s10958-022-06057-7
Ключові слова
Посилання
Бондаренко В. М. Зображення гельфандових графів. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2005. – 228 с.
Боревич З. И. О факторизации матриц над кольцом главных идеалов // ІІІ Всесоюз. симп. по теории колец, алгебр и модулей, Тарту, 21–24 сент. 1976 г.: Тез. докл. – Тарту: Тарт. ун-т, 1976. – С. 19.
Васерштейн Л. Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств // Функц. анализ и его приложения. – 1971. – 5, № 2. – С. 17–27. Те саме: Vasershtein L. N. Stable rank of rings and dimensionality of topological spaces // Funct. Analysis its Appl. – 1971. – 5, No. 2. – P. 102–110.
Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1988. – 552 c. Те саме: Gantmacher F. R. The theory of matrices. – New York: Chelsea Publ. Co., 1959. – Vol. 1: x+377 p.; Vol. 2: x+277 p. – http://science.sciencemag.org/content/131/3408/1216.2.
Грига Б. С., Казімірський П. С. До питання єдиності виділення унітального множника з матричного многочлена // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1976. – № 4. – С. 293–295.
Гудивок П. М. Об эквивалентности матриц над коммутативными кольцами // Бесконечные группы и примыкающие алгебр. структуры. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1993. – С. 431–437.
Джалюк Н. С., Петричкович В. М. Паралельні факторизації матриць над кільцями та їх зв’язки // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2010. – Вип. 8. – С. 7–17.
Джалюк Н., Петричкович В. Напівскалярна еквівалентність поліноміальних матриць та розв’язування матричних поліноміальних рівнянь Сильвестра // Мат. вісн. НТШ. – 2012. – 9. – С. 81–88.
Забавський Б. В., Poманів O. M. Кільця з елементарною редукцією матриць // Укр. мат. журн. – 2000. – 52, № 12. – С. 1641–1649. Те саме: Zabavskii B. V., Romaniv O. M. Rings with elementary reduction of matrices // Ukr. Math. J. – 2000. – 52, No. 12. – P. 1872–1881.
Забавський Б. В., Петричкович В. М. Про стабільний ранг кілець матриць // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 11. – С. 1575–1578. Те саме: Zabavs’kyi B. V., Petrychkovych V. M. On the stable range of matrix rings // Ukr. Math. J. – 2009. – 61, No. 11. – P. 1853–1857.
Зелиско В. Р. О разложении матричного многочлена в произведение линейных множителей // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 6. – С. 807–810.
Зелиско В. Р. О строении одного класса обратимых матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1980. – Вып. 12. – С. 14–21.
Зеліско В. Р. Єдиність унітальних дільників матричного многочлена // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1988. – Вип. 30. – С. 36–38.
Зеліско В. Р., Ладзоришин Н. Б., Петричкович В. М. Про еквівалентність матриць над квадратичними евклідовими кільцями // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2006. – Вип. 4. – С. 16–21.
Казимирский П. С. К разложению квадратной полиномиальной матрицы в произведение линейных множителей // Укр. мат. журн. – 1965. – 17, № 5. – С. 115–119.
Казимирский П. С. Решение проблемы выделения регулярного множителя из матричного многочлена // Укр. мат. журн. – 1980. – 32, № 4. – С. 483–498.
Казимирский П. С., Петричкович В. М. Разложимость полиномиальных матриц на линейные множители // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1978. – Вып. 8. – С. 3–9.
Казімірський П. С. Квазіунітальні та супровідні матриці матричних многочленів // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 29–52.
Казімірський П. С. Розклад матричних многочленів на множники. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2015. – 282 с.
Казімірський П. С., Зеліско В. Р. Про виділення з поліноміальної матриці регулярного множника з наперед заданою формою Сміта // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 52–61.
Казімірський П. С., Зеліско В. Р. Про виділення лінійного множника з матричного многочлена // Доп. АН УРСР. Сер. А. – 1976. – № 11. – С. 968–970.
Казімірський П. С., Петричкович В. М. Про еквівалентність поліноміальних матриць // Теорет. та прикл. питання алгебри і диференц. рівнянь. – Київ: Наук. думка, 1977. – С. 61–66.
Кравчук М. П. Вибрані математичні праці / Упорядник Н. Вірченко. – Київ–Нью Йорк: Укр. вільна акад. у США – Нац. акад. наук України, 2002. – 792 с.
Кравчук М. П., Гольдбаум Я. С. Об эквивалентности особенных пучков матриц // Тр. Киев. авиац. ин-та. – 1928. – № 6. – С. 5–27.
Ладзоришин Н. Б. Цілочислові розв’язки матричних лінійних односторонніх і різносторонніх рівнянь над квадратичними кільцями // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2015. – 58, № 2. – С. 47–54. Те саме: Ladzoryshyn N. B. Integer solutions of matrix linear unilateral and bilateral equations over quadratic rings // J. Math. Sci. – 2017. – 223, No. 1. – P. 50–59. – doi:10.1007/s10958-017-3337-0.
Ладзоришин Н. Б., Петричкович В. М. Стандартна форма матриць над квадратичними кільцями відносно (z,k) -еквівалентності та структура розв’язків матричних двобічних лінійних рівнянь // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2018. – 61, № 2. – С. 49–56.
Ладзоришин Н., Петричкович В. Матричні лінійні одно- та двобічні рівняння над квадратичними кільцями // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2018. – Вип. 85. – С. 32–40.
Лопатинский Я. Б. О некоторых свойствах полиномиальных матриц // Краевые задачи мат. физики. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. – С. 108–116.
Лопатинский Я. Б. Разложение полиноминальной матрицы на множители // Науч. зап. Львов. политехн. ин-та. Сер. физ.-мат. – 1957. – Вып. 38, № 2. – С. 3–7.
Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. – Москва: Наука, 1970. – 400 с.
Петричкович В. М. Звідність пар матриць узагальнено еквівалентними перетвореннями до трикутних і діагональних форм та їх застосування // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2000. – 43, № 2. – С. 15–22.
Петричкович В. М. Клеточно-треугольная и клеточно-диагональная факторизация клеточно-треугольных и клеточно-диагональных многочленных матриц // Мат. заметки. – 1985. – 37, № 6. – С. 789–796. Те саме: Petrichkovich V. M. Cell-triangular and cell-diagonal factorizations of cell-triangular and cell-diagonal polynomial matrices // Math. Notes. – 1985. – 37, No. 6. – P. 431–435.
Петричкович В. М. Критерій діагоналізовності пари матриць над кільцем головних ідеалів спільними рядковими і різними стовпцевими перетвореннями // Укр. мат. журн. – 1997. – 49, № 6. – С. 860–862. Те саме: Petrychkovych V. M. A criterion of diagonalizability of a pair of matrices over the ring of principal ideals by common row and separate column transformations // Ukr. Math. J. – 1997. – 49, No. 6. – P. 963–965.
Петричкович В. М. О линейных делителях и приводимости многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1984. – 36, № 2. – С. 195–200. Те саме: Petrychkovich V. M. Linear divisors and reducibility of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1984. – 36, No. 2. – P. 176–181.
Петричкович В. М. О полускалярной эквивалентности и нормальной форме Смита многочленных матриц // Мат. методы и физ.-мех. поля. – 1987. – Вып. 26. – С. 13–16. Те саме: Petrychkovich V. M. Semiscalar equivalence and the Smith normal form of polynomial matrices // J. Sov. Math. – 1993. – 66, No. 1. – P. 2030–2033.
Петричкович В. М. Паралельні факторизації многочленних матриць // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 9. – С. 1228–1233. Те саме: Petrychkovych V. M. Parallel factorizations of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1992. – 44, No. 9. – P. 1123–1127.
Петричкович В. М. Полускалярная эквивалентность и факторизация многочленных матриц // Укр. мат. журн. – 1990. – 42, № 5. – С. 644–649. Те саме: Petrychkovich V. M. Semiscalar equivalence and the factorization of polynomial matrices // Ukr. Math. J. – 1990. – 42, No. 5. – P. 570–574.
Петричкович В. М. Про кратності характеристичних коренів, степені елементарних дільників і факторизацію многочленних матриць // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2005. – 48, № 2. – С. 7–17.
Петричкович В. М. Про паралельні факторизації матриць над кільцями головних ідеалів // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 1997. – 40, № 4. – С. 96–100.
Петричкович В. М. Про подільність та факторизацію матриць // Мат. студії. – 2004. – 22, № 2. – С. 115–120.
Петричкович В. М. Про розв’язки матричних многочленних рівнянь та їх число // Прикл. проблеми механіки і математики. – 2009. – Вип. 7. – С. 52–56.
Петричкович В. М. Узагальнена еквівалентність матриць і їх наборів та факторизація матриць над кільцями. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, 2015. – 312 с.
Шаваровский Б. З. О некоторых «ручных» и «диких» аспектах проблемы полускалярной эквивалентности многочленных матриц // Мат. заметки. – 2004. – 76, № 1. – С. 119–132. Те саме: Shavarovskii B. Z. On some «tame» and «wild» aspects of the problem of semiscalar equivalence of polynomial matrices // Math. Notes. – 2004. – 76, No. 1-2. – P. 111–123.
Шаваровский Б. З. О подобии пар матриц четного порядка // Мат. заметки. – 2007. – 81, № 3. – С. 448–463. Те саме: Shavarovskii B. Z. On the similarity of matrices of even order // Math. Notes. – 2007. – 81, No. 3. – P. 392–407.
Щедрик В. П. Факторизація матриць над кільцями елементарних дільників. – Львів: Ін-т прикл. проблем механіки і математики ім. Я. C. Підстригача НАН України, 2017. – 304 с.
Bass H. K-theory and stable algebra // Publ. Math. I.H.É.S. – 1964. – 22. – P. 5–60.
Bovdi V. A., Shchedryk V. P. Commutative Bezout domains of stable range 1.5 // Linear Algebra Appl. – 2019. – 568. – P. 127–134. – https://doi.org/10.1016/j.laa.2018.06.012.
Dias da Silva J. A., Laffey T. J. On simultaneous similarity of matrices and related questions // Linear Algebra Appl. – 1999. – 291. – P. 167–184.
Dlab V., Ringel C. M. Canonical forms of pairs of complex matrices // Linear Algebra Appl. – 1991. – 147. – P. 387–410. – doi:10.1016/0024-3795(91)90240-W.
Drozd Yu. A. Tame and wild matrix problems // Lect. Notes Math. – 1980. – 832. – P. 242–258.
Dzhaliuk N. S., Petrychkovych V. M. The matrix linear unilateral and bilateral equations with two variables over commutative rings // Int. Scholarly Research Notices. ISRN Algebra. – 2012. – Article ID 205478. – 14 pages. – http://dx.doi.org/10.5402/2012/205478.
Dzhaliuk N. S., Petrychkovych V. M. Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure // Algebra Discrete Math. – 2019. – 27. No. 2. – P. 243–251.
Feinstein J., Bar-Ness Y. On the uniqueness minimal solution of the matrix polynomial equation A(l)X(l) + Y(l)B(l) = C(l) // J. Franklin Inst. – 1980. – 310, No. 2. – P. 131–134. – doi: 10.1016/0016-0032(78)90012-1.
Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrix polynomials. – New York: Acad. Press, 1982. – 409 p.
Helmer O. The elementary divisor theorem for certain rings without chain conditions // Bull. Amer. Math. Soc. – 1943. – 49, No. 4. – P. 225–236. – https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1943-07886-X.
Kaczorek T. Polynomial and rational matrices. Applications in dynamical systems theory. – London: Springer, 2007. – 503 p.
Kronecker L. Algebraische Reduktion der Scharen bilinearer Formen // Sitzungsber. Akad. Wiss. Phys.-Math. Klasse. – Berlin, 1890. – S. 763–776.
Kučera V. Algebraic theory of discrete optimal control for single-variable systems. I. Preliminaries // Kybernetika. – 1973. – 9, No. 2. – P. 94–107.
Ladzoryshyn N., Petrychkovych V. Equivalence of pairs of matrices with relatively prime determinants over quadratic rings of principal ideals // Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold. Mat. – 2014. – No. 3 (76). – P. 38–48.
Lancaster P., Rodman L. Algebraic Riccati equations. – Oxford: Clarendon Press, 1995. – 498 p.
Newman M. Integral matrices. – New York: Acad. Press, 1972. – 224 p. – Ser. Pure and Applied Mathematics. – Vol. 45.
Pereira E. On solvents of matrix polynomials // Appl. Numer. Math. – 2003. – 47, No. 2. – P. 197–208. – https://doi.org/10.1016/S0168-9274(03)00058-8.
Petrychkovych V. Generalized equivalence of pairs of matrices // Linear Multilinear Algebra. – 2000. – 48, No. 2. – P. 179–188. – doi: 10.1080/03081080008818667.
Petrychkovych V. Standard form of pairs of matrices with respect to generalized equivalence // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2003. – Вип. 61. – C. 148–155.
Petrychkovych V., Dzhaliuk N. Factorizations in the rings of the block matrices // Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold. Mat. – 2017. – No. 3 (85). – P. 23–33.
Roth W. E. The equations AX - YB = C and AX - XB = C in matrices // Proc. Am. Math. Soc. – 1952. – 3, No. 3. – P. 392–396. – https://doi.org/10.2307/2031890.
Sergeichuk V. V. Canonical matrices and related questions // Математика і її застосування: Праці Ін-ту марематики НАН України. – 57. – Київ: Ін-т математики НАН України, 2006. – x+326 с.
Shavarovskii B. Z. Canonical form of reduced 3-by-3 matrix with one characteristic root and with some zero subdiagonal elements // Hindawi J. Math. – 2019. – Volume 2019. Article ID 7646132. – 10 p. – https://doi.org/10.1155/2019/7646132.
Shchedryk V. Factorization of matrices over elementary divisor domain // Algebra Discrete Math. – 2009. – 8, No. 2. – P. 79–98.
Weierstrass K. Zur Theorie der bilinearen und quadratischen Formen // Monatsh. Akad. Wiss. – Berlin, 1867. – S. 310–338.
Zabavsky B. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Algebra Discrete Math. – 2005. – 4, No. 1. – P. 151–165.
Zabavsky B. Diagonal reduction of matrices over rings. – Lviv: VNTL Publ., 2012. – 250 p. – (Math. Studies: Monograph Ser. – Vol. 16).
Zabavsky B. Conditions for stable range of an elementary divisor rings // Commun. Algebra. – 2017. – 45, No. 9. – P. 4062–4066.
Zhou B., Yan Z.-B., Duan G.-R. Unified parametrization for the solutions to the polynomial Diophantine matrix equation and the generalized Sylvester matrix equation // Int. J. Control, Autom., Syst. – 2010. – 8, No. 1. – P. 29–35. – doi:10.1007/s12555-010-0104-0.
Посилання
- Поки немає зовнішніх посилань.
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.