Стандартні форми матриць відносно (z,k)-еквівалентності та матричні рівняння над квадратичними кільцями

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych

Анотація


Наведено огляд одержаних авторами результатів щодо еквівалентності мат­риць над квадратич­ними кільцями $\mathbb{K}=\mathbb{Z}\left [\sqrt{k}\right ]$. Введено поняття (z,k)-еквівалентності матриць та їхніх пар над цими кільцями. Встановлено спеціальні трикутні форми з інваріантними множниками на головній діагоналі матриць над квадратичними евклідовими кільцями та квадратичними кільцями головних ідеалів відносно цієї еквівалентності. Таку форму названо стандартною формою матриці. Стандартні форми матриць за­сто­совано для розробки методів розв’язування матричних рівнянь типу Сильвестра та матричних діофантових рівнянь над квадратичними евклі­до­вими кільця­ми. Досліджено структуру розв’язків цих рівнянь, зокрема виділено роз­в’яз­ки з мінімальною евклідовою нормою. На основі прямих до­бутків мат­риць за­пропоновано метод розв’язування зазначених вище рівнянь над довіль­ними квад­ратичними кільцями зведенням їх до такого самого типу матрич­них рівнянь над кільцем цілих чисел $\mathbb{Z}$.

 

Зразок для цитування: Н. Б. Ладзоришин, В. М. Петричкович, “Стандартні форми матриць відносно (z,k)-еквівалентності та матричні рівняння над квадратичними кільцями”, Мат. методи та фіз.-мех. поля, 68, No. 1-2, 5–20 (2025), https://doi.org/10.15407/mmpmf2025.68.1-2.5-20


Ключові слова


квадратичне кільце, матриця, еквівалентність, (z,k)-еквівалентність, стандартна форма, прямий добуток матриць, матричне рівняння

Посилання


B. V. Zabavskii, O. M. Romaniv, “Rings with elementary reduction of matrices,” Ukr. Mat. Zh., 52, No. 12, 1641–1649 (2000) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 52, No. 12, 1872–1881 (2000), https://doi.org/10.1023/A:1010403909652

P. S. Kazimirskii, Factorization of Matrix Polynomials [in Ukrainian], Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv (2015).

P. S. Kazimirskii, V. M. Petrychkovych, “On the equivalence of polynomial matrices,” Teor. Prykl. Pyt. Alg. Dyffer. Rivn., Nauk. Dumka, Kyiv (1977), pp. 61–66.

N. B. Ladzoryshyn, “On equivalence of pairs of matrices, which determinants are primes powers, over quadratic Euclidean rings,” Karpat. Mat. Publ., 5, No. 1, 63–69 (2013), https://doi.org/10.15330/cmp.5.1.63-69

N. B. Ladzoryshyn, “Integer solutions of matrix linear unilateral and bilateral equations over quadratic rings,” Mat. Met. Fiz.-Mekh. Polya, 58, No. 2, 47–54 (2015) (in Ukrainian); English translation: J. Math. Sci., 223, No. 1, 50–59 (2017), https://doi.org/10.1007/s10958-017-3337-0

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych, “Matrix linear one- and two-sided equations over quadratic rings,” Visn. Lviv. Univ., Ser. Mekh.-Mat., Issue 85, 32–40 (2018), http://doi.org/10.30970/vmm.2018.85.032-040

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych, “Standard form of matrices over quadratic rings with respect to the (z,k)-equivalence and the structure of solutions of bilateral matrix linear equations,” Mat. Met. Fiz.-Mekh. Polya, 61, No. 2, 49–56 (2018) (in Ukrainian); English translation: J. Math. Sci., 253, No. 1, 54–62 (2021), https://doi.org/10.1007/s10958-021-05212-w

A. I. Maltsev, Basics of Linear Algebra [in Russian], Nauka, Moscow (1970).

V. M. Petrichkovich, “Semiscalar equivalence and the Smith normal form of polynomial matrices,” Mat. Met. Fiz.-Mekh. Polya, Issue 26, 13–16 (1987) (in Russian); English translation: J. Sov. Math., 66, No. 1, 2030–2033 (1993), https://doi.org/10.1007/BF01097386

V. M. Petrichkovich, Generalized Equivalence of Matrices and its Collections and Factorization of Matrices Over Rings [in Ukrainian], Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv (2015).

V. P. Shchedryk, Factorization of Matrices Over Elementary Divisors Rings [in Ukrainian], Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Lviv (2017).

Yu. A. Drozd, “Tame and wild matrix problems,” in V. Dlab, P. Gabriel (eds), Representation Theory II., Lect. Notes Math., Vol. 832, Springer, Berlin–Heidelberg (1980), pp. 242–258, https://doi.org/10.1007/BFb0088467

N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, “Solutions of the matrix linear bilateral polynomial equation and their structure,” Algebra Discrete Math., 27, No. 2, 243–251 (2019).

N. S. Dzhaliuk, V. M. Petrychkovych, “The matrix linear unilateral and bilateral equations with two variables over commutative rings,” Int. Scholarly Res. Network. ISRN Algebra, Article ID 205478 (2012), 14 p., https://doi.org/10.5402/2012/205478

W. H. Gustafson, “Roth’s theorems over commutative rings,” Linear Algebra Appl., 23, 245–251 (1979), https://doi.org/10.1016/0024-3795(79)90106-X

H. Hasse, Number Theory, Springer-Verlag, Berlin–Heidelberg (1980).

C. R. Johnson, M. Newman, “A condition for the diagonalizability of a partitioned matrix,” J. Res. Natl. Bur. Stand. B, 79B, No. 1-2, 45–48 (1975).

T. Kaczorek, Polynomial and Rational Matrices. Applications in Dynamical Systems Theory, Springer, London (2007), https://doi.org/10.1007/978-1-84628-605-6?nosfx=y

I. Kaplansky, “Elementary divisors ring and modules,” Trans. Amer. Math. Soc., 66, 464–491 (1949), https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1949-0031470-3

N. Ladzoryshyn, V. Petrychkovych, “Equivalence of pairs of matrices with relatively prime determinants over quadratic rings of principal ideals,” Bul. Acad. Ştiinţe Repub. Mold. Mat., 76, No. 3, 38–48 (2014).

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych, “The number of standard forms of matrices over imaginary Euclidean quadratic rings with respect to the (z,k)-equivalence,” Mat. Studii, 57, No. 2, 115–121 (2022), https://doi.org/10.30970/ms.57.2.115-121

N. B. Ladzoryshyn, V. M. Petrychkovych, H. V. Zelisko,“Matrix Diophantine equations over quadratic rings and their solutions,” Karpat. Mat. Publ., 12, No. 2, 368–375 (2020), https://doi.org/10.15330/cmp.12.2.368-375

V. Perič, M. Vucovič, “Some examples of principal ideal domain which are not Euclidean and some other counterexamples,” Novi. Sad. J. Math., 38, No. 1, 137–154 (2008).

W. E. Roth, “The equations AX-YB=C and AX-XB=C in matrices,” Proc. Amer. Math. Soc., 3, No. 3, 392–396 (1952), https://doi.org/10.1090/S0002-9939-1952-0047598-3

B. Z. Shavarovskii, “On some “tame” and “wild” aspects of the problem of semi-scalar equivalence of polynomial matrices,” Math. Notes, 76, No. 1, 111–123 (2004), https://doi.org/10.1023/B:MATN.0000036747.26055.cb

H. J. S. Smith, “On systems of linear indeterminate equations and congruences,” Phil. Trans. Roy. Soc. London, 151, No. 2, 293–326 (1861).

W. A. Wolovich, P. J. Antsaklis, “The canonical Diophantine equations with applications,” SIAM J. Control Optim., 22, No. 5, 777–787 (1984).


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.