Задача лінійного спряження з багатоточковими умовами у випадку кратних вузлів для строго гіперболічних однорідних рівнянь високого порядку

I. Ya. Savka, I. R. Tymkiv

Анотація


Задача розглядається в циліндричній області змінних t, x, яка є декартовим добутком відрізка, що містить нуль, на одиничне коло, і поділена на дві підобласті гіперплощиною t=0. У кожній підобласті розв’язок задачі задовольняє відповідні диференціальні рівняння з багатоточковими умовами у випадку кратних вузлів, а на межі поділу t=0 – умови лінійного спряження. Вигляд області накладає додаткові умови на періодичність розв’язку за просторовою змінною x. Досліджено умови коректної розв’язності задачі у просторі Соболєва, які тісно пов’язані з проблемою малих знаменників і їх оцінюванням. За допомогою метричного підходу встановлено, що такі умови виконуються для майже всіх (стосовно міри Лебеґа) векторів, складених із вузлів інтерполяції багатоточкових умов.

 

Зразок для цитування: І. Я. Савка, І. Р. Тимків, “Задача лінійного спряження з багатоточковими умовами у випадку кратних вузлів для строго гіперболічних однорідних рівнянь високого порядку,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 65, No. 1-2, 96–108 (2022), https://doi.org/10.15407/mmpmf2022.65.1-2.96-108


Ключові слова


задача спряження, багатоточкова задача, кратні вузли, гіперболічне рівняння, проблема малих знаменників, простір Соболєва

Посилання


V. I. Bernik, V. V. Beresnevich, P. B. Vasylyshyn, B. I. Ptashnyk, “A multipoint problem with multiple nodes for linear hyperbolic equations,” Ukr. Mat. Zh., 51, No. 10, 1311–1316 (1999) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 51, No. 10, 1476–1483 (1999), https://doi.org/10.1007/BF02981680

A. V. Bitsadze, Equations of Mixed Type [in Russian], Izd. Akad. Nauk SSSR, Moscow (1959).

I. O. Bobyk, M. M. Symotyuk, “The problem with two multiple nodes for linear factorized partial differential equations,” Visn. Nats. Univ. "L’vivs'ka Politekhnika", Ser. Fiz.-Mat. Nauky, 687, 11–19 (2010) (in Ukrainian).

Yu. N. Valitskii, “Well-posedness of a problem for a differential equation given values of a function and its derivatives at several points,” Sib. Mat. Zh., 37, No. 2, 251–258 (1996) (in Russian); English translation: Sib. Math. J., 37, No. 2, 213–220 (1996).

I. M. Gel’fand, “Some questions of analysis and differential equations,” Usp. Mat. Nauk, 14, No. 3(87), 3-19 (1959) (in Russian); English translation: Am. Math. Soc. Transl., Ser. 2, Vol. 26, 201–219 (1963), https://doi.org/10.1090/trans2/026/07

T. D. Dzhuraev, A. Sopuev, M. Mamazhanov, Boundary Value Problems for Equations of Parabolic-Hyperbolic Type [in Russian], Izd. “Fan”, Tashkent (1986).

V. S. Il’kiv, B. Yo. Ptashnyk, “Problems for partial differential equations with nonlocal conditions. Metric approach to the problem of small denominators,” Ukr. Mat. Zh., 58, No. 12, 1624–1650 (2006) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 58, No. 12, 1847–1875 (2006), https://doi.org/10.1007/s11253-006-0172-8

V. O. Kapustyan, I. O. Pyshnograiev, “Conditions for the existence and uniqueness of the solution of a parabolic-hyperbolic equation with nonlocal boundary conditions,” Nauk. Visti Nats. Tekhn. Univ. Kyiv Politekh. Inst., No. 4, 72–76 (2012) (in Ukrainain).

V. I. Korzyuk, “A conjugacy problem for equations of hyperbolic and parabolic types,” Differ. Uravn., 4, No. 10, 1854-1866 (1968) (in Russian).

V. I. Korzyuk, Method of energy inequalities and averaging operators. Boundary value problems for partial differential equations [in Russian], Izd. Belarus. Gos. Univ., Minsk (2013).

A. M. Kuz’, B. Yo. Ptashnyk, “A problem with condition containing an integral term for a parabolic-hyperbolic equation,” Ukr. Mat. Zh., 67, No. 5, 635-644 (2015) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 67, No. 5, 723–734 (2015), https://doi.org/10.1007/s11253-015-1110-4

O. M. Medvid, I. Ya. Savka, I. R. Tymkiv, “Conjugation problem with multipoint conditions for mixed hyperbolic type equations,” Prykarpat. Visn. NTSh, Chyslo, No. 1 (53), 21–28 (2019), https://doi.org/10.31471/2304-7399-2019-1(53)-21-28

B. Yo. Ptashnyk, V. S. Il’kiv, I. Ya. Kmit’, V. M. Polishchuk, Nonlocal boundary-value problems for partial differential equations [in Ukrainian], Nauk. Dumka, Kyiv (2002).

B. Yo. Ptashnyk, M. M. Symotyuk, “Multipoint problem with multiple nodes for partial differential equations,” Ukr. Mat. Zh., 55, No. 3, 400–413 (2003) (in Ukrainian); English translation: Ukr. Math. J., 55, No. 3, 481–497 (2003), https://doi.org/10.1023/A:1025881429063

I. Savka, P. Vasylyshyn, T. Goy, “Conjugation problem with multipoint nonlocal condition in time for parabolic-hyperbolic equation in a cylindrical domain,” in: Non-classical Problems of Theory of Differential Equations, Collection of scientific works dedicated to 80th anniversary of B. Yo. Ptashnyk, IAPMM, NAS of Ukraine, Lviv (2017), pp. 229–240 (in Ukrainian).

G. M. Struchina, “A problem of conjugation of two equations,” Inzh.-Fiz. Zh., 4, No. 11, 99–104 (1961) (in Russian).

Ya. S. Uflyand, “On the problem of propagation of oscillations in composite electric lines,” Inzh.-Fiz. Zh., 7, No. 1, 89–92 (1964) (in Russian).

A. Al-Droubi, M. Renardy, “Energy methods for a parabolic-hyperbolic interface problem arising in electromagnetism,” Z. Angew. Math. Phys., 39, No. 6, 931–936 (1988), https://doi.org/10.1007/BF00945129

A. Ashyralyev, Y. Ozdemir, “On numerical solutions for hyperbolic-parabolic equations with the multipoint nonlocal boundary condition,” J. Franklin Inst., 351, No. 2, 602–630 (2014), https://doi.org/10.1016/j.jfranklin.2012.08.007

A. Berdyshev, A. Cabada, E. Karimov, “On the existence of eigenvalues of a boundary value problem with transmitting condition of the integral form for a parabolic-hyperbolic equation,” Mathematics (MDPI), 8, No. 6, Art. 1030, 1–13 (2020), https://doi.org/10.3390/math8061030

S. Chen, “Mixed type equations in gas dynamics,” Quart. Appl. Math., 68, No. 3, 487–511 (2010), https://doi.org/10.1090/S0033-569X-2010-01164-9

K. S. Fayazov, I. O. Khajiev, “A nonlocal boundary-value problem for a fourth-order mixed-type equation,” Ukr. Mat. Visn., 17, No. 1, 30–40 (2020), https://doi.org/10.37069/1810-3200-2020-17-1-2; Reprinted in: J. Math. Sci., 248, No. 2, 166–174 (2020), https://doi.org/10.1007/s10958-020-04866-2

B. S. Jovanović, L. G. Vulkov, “Analysis and numerical approximation of a parabolic-hyperbolic transmission problem,” Centr. Eur. J. Math., 10, No. 1, 73–84 (2012), https://doi.org/10.2478/s11533-011-0114-z

Z. Milovanović-Jeknić, “Parabolic-hyperbolic transmission problem in disjoint domains,” Filomat, 32, No. 20, 6911–6920 (2018), https://doi.org/10.2298/FIL1820911M

J. M. Rassias, Lecture Notes on Mixed Type Partial Differential Equations, World Sci., Singapore (1990), https://doi.org/10.1142/1136

J. M. Rassias, “Mixed type partial differential equations with initial and boundary values in fluid mechanics,” Int. J. Appl. Math. Stat., 13, No. J08, 77–107 (2008).


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.