Heuristic choice of the regularization parameter for optimal stabilization of the finite element approximations

R. H. Drebotiy, H. A. Shynkarenko

Анотація


Евристичний вибір параметра регуляризації для оптимальної стабілізації апроксимацій методу скінченних елементів

 

Розглянуто задачу оптимального вибору параметра регуляризації у схемі стабілізації методу скінченних елементів для сингулярно збурених задач дифузії–адвекції–реакції. Стабілізація базується на поєднанні регуляризації Тихонова з допоміжною задачею Коші. Проаналізовано поведінку збурень наближеного розв’язку щодо зміни параметра регуляризації. На основі проведеного аналізу побудовано евристичний критерій оптимального вибору параметра регуляризації. Критерій формулюється як локальна задача мінімізації відповідної функції, побудованої у вигляді композиції лінійного функціонала та отриманої скінченно-елементної ап­роксимації. Запропонований підхід розроблено для одновимірних задач, а потім узагальнено для двовимірних. Також показано можливість використання кванто­вого алгоритму Гарроу–Гассидима–Ллойда у поєднанні зі swap-тестом для реалізації обчислення отриманої функції втрат на квантовому комп’ютері.

 

Зразок для цитування: R. H. Drebotiy, H. A. Shynkarenko, “Heuristic choice of the regularization parameter for optimal stabilization of the finite element approximations,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 66, No. 1-2, 206–221 (2023), https://doi.org/10.15407/mmpmf2023.66.1-2.206-221


Ключові слова


метод скінченних елементів, модель дифузії–адвекції–реакції, схеми стабілізації, задача Коші, дискретний оператор Лапласа, алгоритм Гарроу–Гассидима–Ллойда

Посилання


Yu. Kozarevska, H. Shynkarenko, “Regularization of the numerical solutions of the variational problems of impurity migration: h-adaptive finite element method. Part I,” Visn. Lviv. Univ., Ser. Prykl. Mat. Inform., Issue 5, 153–164 (2002) (in Ukrainian).

V. M. Trushevskyy, H. A. Shynkarenko, N. M. Shcherbyna, Finite-Element Method and Artificial Neural Network: Theoretical Aspects and Application, Vydavn.-Dosl. Tsentr, Ivan Franko Nat. Univ. of Lviv, Lviv (2014).

S. Bartels, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, Cham (2016), https://doi.org/10.1007/978-3-319-32354-1

S. C. Brenner, L. R. Scott, The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer, New York (2008), https://doi.org/10.1007/978-0-387-75934-0

H. Buhrman, R. Cleve, J. Watrous, R. de Wolf, “Quantum Fingerprinting,” Phys. Rev. Lett., 87, No. 16, Art. 167902 (2001), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.87.167902

K. Crane, F. de Goes, M. Desbrun, P. Schröder, “Digital geometry processing with discrete exterior calculus,” in: Proc. of SIGGRAPH’13: ACM SIGGRAPH 2013 Co-urses, Art. 7, 1–126 (2013), https://doi.org/10.1145/2504435.2504442

R. G. Drebotiy, H. A. Shynkarenko, “On the application of the one hp-adaptive finite element strategy for nonsymmetric convection–diffusion–reaction problems,” Zhurn. Obchysl. Prykl. Mat., No. 3(126), 48–60 (2017).

R. Drebotiy, H. Shynkarenko, “Regularized finite element method for singular perturbed convection–diffusion–reaction models with nonuniform sources,” Visn. Lviv. Univ., Ser. Prykl. Mat. Inform., Issue 29, 27–36 (2021), http://doi.org/10.30970/vam.2021.29.11330

X. Feng, O. Karakashian, Y. Xing, Recent Developments in Discontinuous Galerkin Finite Element Methods for Partial Differential Equations, Ser. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications, Vol. 157, Springer (2014), https://doi.org/10.1007/978-3-319-01818-8

J. Fritz, Partial Differential Equations, Springer, New York (2012).

P. C. Hansen, “The L-curve and its use in the numerical treatment of inverse problems,” in: Johnston P. R. (Ed.), Computational Inverse Problems in Electrocardiology, WIT Press (2001), pp. 119–142.

A. W. Harrow, A. Hassidim, S. Lloyd, “Quantum algorithm for linear systems of equations,” Phys. Rev. Lett., 103, No. 15, Art. 150502 (2009), https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.103.150502

F. Lenzen, O. Scherzer, “Tikhonov type regularization methods: History and recent progress,” in: Proc. of ECCOMAS 2004: European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering, 21 p. (2004).

J. D. Logan, Transport Modeling in Hydrogeochemical Systems, Springer, New York (2001), https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3518-5

M. A. Nielsen, I. L. Chuang, “Quantum computation and quantum information,” Cambr. Univ. Press, Cambridge (2010), https://doi.org/10.1017/CBO9780511976667

K. Rektorys, Variational Methods in Mathematics, Science and Engineering, D. Reidel Publ. Co., Dordrecht (1980).

A. Scherer, B. Valiron, S.-C. Mau, S. Alexander, E. van den Berg, T. E. Chapuran, “Concrete resource analysis of the quantum linear system algorithm used to compute the electromagnetic scattering cross section of a 2D target,” Quantum Inf. Process, 16, No. 60, 65 p. (2017), https://doi.org/10.1007/s11128-016-1495-5

J. R. Stewart, T. J. R. Hughes, “A tutorial in elementary finite element error analysis: a systematic presentation of a priori and a posteriori error estimates,” Comput. Meth. Appl. Mech. Eng., 158, No. 1-2, 1–22 (1998), https://doi.org/10.1016/S0045-7825(97)00230-2

R. Verfürth, Adaptive Finite Element Methods, Lecture Notes Winter Term 2018/19, Ruhr-Universität Bochum, 129 p.


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.