Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге – Кутта применительно к начально-краевым задачам для уравнений параболического типа. I. Явные методы

Анотація

Разработан общий алгоритм исследования спектральной устойчивости обобщенных многостадийных методов Рунге – Кутта (МРК) разных порядков точности применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка. Выражение для функции спектральной устойчивости получено в двух альтернативных формах: на основе матричных соотношений и в детерминантном виде. Исследована конкретная реализация разных явных обобщенных МРК и их спектральная устойчивость. Показано, что все явные обобщенные МРК обладают условной спектральной устойчивостью и свойством условной монотонности численного решения по времени, нарушение которого приводит к возникновению ложных осцилляций приближенного решения. Функция устойчивости для этих методов является полиномиальной. Продемонстрировано,что в случае использования двухстадийных явных обобщенных МРК получаются схемы типа предиктор-корректор, а в случае задачи нестационарной одномерной теплопроводности на базе одностадийного обобщенного МРК получается условно устойчивая классическая двухслойная явная конечно-разностная схема на четырехточечном шаблоне. Выявлено, что из всех исследованных явных обобщенных МРК наименее слабым условием спектральной устойчивости обладает пятистадийный обобщенный метод Рунге – Кутта – Мерсона. Янковский А. П. Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге – Кутта применительно к начально-краевым задачам для уравнений параболического типа. I. Явные методы // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2016. – 59, № 1. – С. 99–110.

Translation: Yankovskii A. P. Analysis of the spectral stability of the generalized Runge – Kutta methods applied to initial-boundary-value problems for equations of the parabolic type. I. Explicit methods // J. Math. Sci. – 2018. – 229, No. 3. – P. 227–240. https://doi.org/10.1007/s10958-018-3673-8