Stability of generalized mean value type functional equation

Анотація

In the paper, we prove the stability theorem for the generalized mean value type functional equation $\frac{\it{xf}(\it y)-\it{yf}(\it x)}{\it{x-y}}=\Phi(x+y)$ for $x,y\in\mathbb{K},x\neq y$. We will show that if $(X,\left \| \cdot \right \|)$ is a Banach space over $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ and if function $f:\mathbb{K}\rightarrow X$ satisfies the inequality $\left \| \frac{xf(y)-yf(x)}{x-y}-\Phi(x+y)\right \|<\epsilon$ for $x,y\in\mathbb{K},x\neq y$, then there exist constants $a,b\in X$ such that $\left \| f(x)-(xa+b)\right \|<2\epsilon$ and $\left \| \Phi(x)-b\right \|<3\epsilon$ for $x\in\mathbb{K}$.

Доведено теорему стійкості для функціонального рівняння типу узагальненого середнього значення $\frac{\it{xf}(\it y)-\it{yf}(\it x)}{\it{x-y}}=\Phi(x+y)$ для $x,y\in\mathbb{K},x\neq y$. Показано, що, якщо $(X,\left \| \cdot \right \|)$ – банахів простір над $\mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$ і якщо функція  $f:\mathbb{K}\rightarrow X$ задовольняє нерівність $\left \| \frac{xf(y)-yf(x)}{x-y}-\Phi(x+y)\right \|<\epsilon$ для $x,y\in\mathbb{K},x\neq y$, то існують сталі $a,b\in X$ такі, що $\left \| f(x)-(xa+b)\right \|<2\epsilon$ і $\left \| \Phi(x)-b\right \|<3\epsilon$ для $x\in\mathbb{K}$.