Stability of generalized mean value type functional equation

Анотація

In the paper, we prove the stability theorem for the generalized mean value type functional equation \frac{\it{xf}(\it y)-\it{yf}(\it x)}{\it{x-y}}=\Phi(x+y) for x,y\in\mathbb{K},x\neq y. We will show that if (X,\left \| \cdot \right \|) is a Banach space over \mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} and if function f:\mathbb{K}\rightarrow X satisfies the inequality \left \| \frac{xf(y)-yf(x)}{x-y}-\Phi(x+y)\right \|<\epsilon for x,y\in\mathbb{K},x\neq y, then there exist constants a,b\in X such that \left \| f(x)-(xa+b)\right \|<2\epsilon and \left \| \Phi(x)-b\right \|<3\epsilon for x\in\mathbb{K}.

Доведено теорему стійкості для функціонального рівняння типу узагальненого середнього значення \frac{\it{xf}(\it y)-\it{yf}(\it x)}{\it{x-y}}=\Phi(x+y) для x,y\in\mathbb{K},x\neq y. Показано, що, якщо (X,\left \| \cdot \right \|) – банахів простір над \mathbb{K}\in\{\mathbb{R},\mathbb{C}\} і якщо функція  f:\mathbb{K}\rightarrow X задовольняє нерівність \left \| \frac{xf(y)-yf(x)}{x-y}-\Phi(x+y)\right \|<\epsilon для x,y\in\mathbb{K},x\neq y, то існують сталі a,b\in X такі, що \left \| f(x)-(xa+b)\right \|<2\epsilon і \left \| \Phi(x)-b\right \|<3\epsilon для x\in\mathbb{K}.