Критический анализ двумерных уравнений теплового баланса композитных пластин, полученных на основе вариационных принципов теории теплопроводности. I. Общие двумерные теории

А. П. Янковский

Анотація


На основе использования вариационных принципов рассмотрены два подхода к получению двумерных уравнений теории стационарной теплопроводности композитных пластин. Температура пластин аппроксимируется полиномом по поперечной координате с неизвестными коэффициентами разложения. В рамках первого подхода тепловые граничные условия на лицевых поверхностях пластин не учитываются, но получающиеся двумерные уравнения Эйлера и соответствующие им граничные условия на кромках являются согласованными с теплофизической точки зрения, так как согласно этим уравнениям для любой подобласти пластины и всей конструкции в целом выполняется уравнение теплового баланса. В рамках второго подхода учитываются тепловые граничные условия на лицевых поверхностях. Последнее обстоятельство приводит к необходимости введения неопределенных множителей Лагранжа, т. е. к решению вариационной задачи на условный экстремум. Показано, что получающиеся при этом двумерные уравнения Эйлера и соответствующие им граничные условия на кромках являются несогласованными (противоречивыми) с теплофизической точки зрения, так как для произвольной подобласти пластины и всей конструкции в целом не выполняется уравнение теплового баланса.

 

Зразок для цитування: А. П. Янковский, “Критический анализ двумерных уравнений теплового баланса композитных пластин, полученных на основе вариационных принципов теории теплопроводности. I. Общие двумерные теории,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 62, No. 2, 107–119 (2019).

Translation: А. P. Yankovskii, “Critical analysis of two-dimensional heat-balance equations for composite plates obtained according to the variational principles of the theory of heat conduction. I. General two-dimensional theories”, J. Math. Sci., 261, No. 1, 127–142 (2022), https://doi.org/10.1007/s10958-022-05740-z


Ключові слова


композитные пластины, теория теплопроводности, уравнение теплового баланса, методы понижения размерности, вариационные принципы, метод взвешенных невязок

Посилання


Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. – Москва: Мир, 1987. – 542 с. То же: Washizu K. Variational methods in elasticity and plasticity. – Oxford etc.: Pergamon Press, 1982. – 630 p.

Дьярмати И. Неравновесная термодинамика. Теория поля и вариационные принципы. – Москва: Мир, 1975. – 304 с. То же: Gyarmati I. Non-equilibrium thermodynamics. Field theory and variational principles. – Berlin–New York: Springer, 1970. – xi+184 p.

Зино Е. И., Тропп Э. А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости. – Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1978. – 224 с.

Кудинов В. А., Кудинов И. В. Методы решения параболических и гиперболических уравнений теплопроводности / Под ред. Э. М. Карташова. – Москва: ЛИБРОКОМ, 2012. – 280 с.

Немировский Ю. В., Бабин А. И. Нестационарная теплопередача в многослойных анизотропных оболочках вращения // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 1992. – Вып. 35. – С. 106–114. То же: Nemirovskii Yu. V., Babin A. I. Nonstationary heat transfer in multilayer anisotropic shells of revolution // J. Sov. Math. – 1993. – 67, No. 2. – P. 2917–2924. – https://doi.org/10.1007/BF01095869

Немировский Ю. В., Бабин А. И. Связанная задача термоупругости слоистых композитных оболочек вращения. I. Теоретические аспекты проблемы // Мат. методи та фіз.-мех. поля. – 2016. – 59, № 1. – С. 86–98. То же: Nemirovskii Yu. V., Babin A. I. Coupled thermoelasticity problem for multilayer composite shells of revolution. I. Theoretical aspects of the problem // J. Math. Sci. – 2018. – 229, No. 2. – P. 211–225. – https://doi.org/10.1007/s10958-018-3672-9

Немировский Ю. В., Янковский А. П. Теплопроводность однородных и композитных тонкостенных конструкций. – Новосибирск: Арт-Авеню, 2008. – 512 с.

Соломонов Ю. С., Георгиевский В. П., Недбай А. Я., Андрюшин В. А. Прикладные задачи механики композитных цилиндрических оболочек. – Москва: Физматлит, 2014. – 408 с.

Тарнопольский Ю. М., Жигун И. Г., Поляков В. А. Пространственно-армированные композиционные материалы: Справочник. – Москва: Машиностроение, 1987. – 224 с.

Формалев В. Ф. Теплоперенос в анизотропных твердых телах. Численные методы, тепловые волны, обратные задачи. – Москва: Физматлит, 2015. – 280 с.

Формалев В. Ф. Теплопроводность анизотропных тел. Аналитические методы решения задач. – Москва: Физматлит, 2015. – 312 с.

Якимов А. С. Математическое моделирование тепловой защиты и некоторых задач тепломассообмена. – Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2015. – 214 с.

Янковский А. П. Асимптотический анализ решения нелинейной задачи нестационарной теплопроводности слоистых анизотропных неоднородных оболочек при малых числах Био на лицевых поверхностях // Теплофизика и аэромеханика. – 2017. – 24, № 2. – С. 293–310.

Aghalovyan L. Asymptotic theory of anisotropic plates and shells. – London–Singapore: World Scientific Publ., 2015. – 376 p.

Schuster J., Heider D., Sharp K., Glowania M. Measuring and modeling the thermal conductivities of three-dimensionally woven fabric composites // Mech. Compos. Mater. – 2009. – 45, No. 2. – P. 165–174. – https://doi.org/10.1007/s11029-009-9072-y

Vasiliev V., Morozov E. Advanced mechanics of composite materials and structural elements. – Amsterdam: Elsevier, 2013. – 832 p.


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.