Time-efficient sparse matrix computation using mesh resampling in finite difference analysis

G. Domínguez Rodríguez, J. A. Medina García, J. A. Tapia González, O. Bilyy, G. I. Canto Santana

Анотація


Скорочення часу обчислень розріджених матриць із використанням передискретизації сітки у скінченно-різницевому аналізі

Запропоновано методологія скорочення часу обчислення скінченних різниць, яка полягає в поступовому збільшенні кількості вузлів на кожній стороні прямо­кутного репрезентативного об’єму та інтерполяції припущених значень із попереднього вузлового рішення. Цей процес повторюється до досягнення кінцевої кількості вузлів. Розглянуто три методи розв’язування для трьох різних типів крайових умов, у тому числі – розривних, для оцінки ефективності запро­понованої методики. Виявлено скорочення часу обчислення на п’ять порядків для методів Якобі і Ґаусса–Зайделя. Для методу спряжених ґрадієнтів таке скорочення становить один порядок.

 

Зразок для цитування: G. Domínguez Rodríguez, J. A. Medina García, J. A. Tapia González, O. Bilyy, G. I. Canto Santana, “Time-efficient sparse matrix computation using mesh resampling in finite difference analysis,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 67, №3-4, 53-63 (2024), https://doi.org/10.15407/mmpmf2024.67.3-4.53-63


Ключові слова


метод скінченних різниць, передискретизація сітки, метод Якобі, метод Ґаусса–Зейделя, спряжений ґрадієнт

Посилання


M. Abbaszadeh, M. Dehghan, “A finite-difference procedure to solve weakly singular integro partial differential equation with space-time fractional derivatives,” Eng. Comput., 37, No. 3, 2173–2182 (2021), https://doi.org/10.1007/s00366-020-00936-w

M. Abbaszadeh, M. Dehghan, “Meshless upwind local radial basis function-finite difference technique to simulate the time-fractional distributed-order advection–diffusion equation,” Eng. Comput., 37, No. 2, 873–889 (2021), https://doi.org/10.1007/s00366-019-00861-7

K. E. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, Hoboken (1989).

M. Avriel, Nonlinear Programming: Analysis and Methods, Dover Publ., New York (2003).

R. Bagnara, “A unified proof for the convergence of Jacobi and Gauss–Seidel methods,” SIAM Rev., 37, No. 1, 93–97 (1995), https://doi.org/10.1137/1037008

J. Christensen, C. Bastien, Nonlinear Optimization of Vehicle Safety Structures: Modeling of Structures Subjected to Large Deformations, Butterworth-Heinemann, Oxford – Amsterdam (2016), https://doi.org/10.1016/C2013-0-00069-2

D. R. Croft, D. G. Lihey, Heat Transfer Calculations Using Finite Difference Equations, Applied Science Publ., London (1977).

V. Faber, T. Manteuffel, “Necessary and sufficient conditions for the existence of a conjugate gradient method,” SIAM J. Numer. Anal., 21, No. 2, 352–362 (1984), https://doi.org/10.1137/0721026

E. Fan, J. Wang, Y. Liu, H. Li, Z. Fang, “Numerical simulations based on shifted second-order difference/finite element algorithms for the time fractional Maxwell’s system,” Eng. Comput., 38, No. 1 (supplement), 191–205 (2022), https://doi.org/10.1007/s00366-020-01147-z

W. Ford, Numerical Linear Algebra with Applications, Elsevier Academic Press, Amsterdam (2014).

P. A. Forsyth, “A control-volume, finite-element method for local mesh refinement in thermal reservoir simulation,” SPE Res. Eng., 5, No. 4, 561–566 (1990), https://doi.org/10.2118/18415-PA

G. E. Forsythe, W. R. Wasow, Finite Difference Methods for Partial Differential Equations, Literary Licensing, LLC, Whitefish (2013).

G. H. Golub, C. F. Van Loan, Matrix Computations, The Johns Hopkins University Press, Baltimore (1996).

C. Grossmann, H.-G. Roos, M. Stynes, Numerical Treatment of Partial Differential Equations, Springer, Berlin – Heidelberg (2007).

M. R. Hestenes, E. Stiefel, “Methods of conjugate gradients for solving linear systems,” J. Res. Nat. Bur. Standards., 49, No. 6, 409–436 (1952), https://doi.org/10.6028/JRES.049.044

K. Hutter, K. Jöhnk, Continuum Methods of Physical Modeling, Springer, Berlin – Heidelberg (2004).

M. T. Jones, P. E. Plassmann, “Parallel algorithms for adaptive mesh refinement,” SIAM J. Scie. Comput., 18, No. 3, 686–708 (1997), https://doi.org/10.1137/S106482759528065X

R. Keppens, M. Nool, G. Tóth, J. P. Goedbloed, “Adaptive mesh refinement for conservative systems: multi-dimensional efficiency evaluation,” Comput. Phys. Commun., 153, No. 3, 317–339 (2003), https://doi.org/10.1016/S0010-4655(03)00139-5

W. Li, W. Sun, “Modified Gauss–Seidel type methods and Jacobi type methods for Z-matrices,” Linear Algebra Appl., 317, No. 1-3, 227–240 (2000), https://doi.org/10.1016/S0024-3795(00)00140-3

J. P. Milaszewicz, “Improving Jacobi and Gauss–Seidel iterations,” Linear Algebra Appl., 93, 161–170 (1987), https://doi.org/10.1016/S0024-3795(87)90321-1

F. Mirzaee, N. Samadyar, “Combination of finite difference method and meshless method based on radial basis functions to solve fractional stochastic advection–diffusion equations,” Eng. Comput., 36, No. 4, 1673–1686 (2020), https://doi.org/10.1007/s00366-019-00789-y

M. F. Modest, Radiative Heat Transfer, Elsevier Academic Press, New York (2013).

M. N. Özişik, H. R. B. Orlande, M. J. Colaço, R. M. Cotta, Finite Difference Methods in Heat Transfer, CRC Press, Boca Raton (2017).

G. M. Phillips, P. J. Taylor, “Matrix norms and applications,” in: Theory and applications of numerical analysis, Elsevier Academic Press, Amsterdam (1996), Chap. 10, pp. 265–298, https://doi.org/10.1016/B978-012553560-1/50011-2

B. T. Polyak, “The conjugate gradient method in extremal problems,” USSR Comput. Math. Math. Phys., 9, No. 4, 94–112 (1969), https://doi.org/10.1016/0041-5553(69)90035-4

M. J. D. Powell, “Restart procedures for the conjugate gradient method,” Math. Program., 12, No. 1, 241–254 (1977), https://doi.org/10.1007/BF01593790

D. K. Salkuyeh, “Generalized Jacobi and Gauss–Seidel methods for solving linear system of equations,” Numer. Math. J. Chinese Univ., 16, No. 2, 164–170 (2007).

. J. R. Shewchuk, An Introduction to Conjugate Gradient Method without the Agonizing Pain, Carnegie Mellon University, Pittsburgh (1994).

Z. Tian, M. Tian, Z. Liu, T. Xu, “The Jacobi and Gauss–Seidel-type iteration methods for the matrix equation AXB = C,” Appl. Math. Comput., 292, 63–75 (2017), https://doi.org/10.1016/j.amc.2016.07.026

J. N. Tritsiklis, “A comparison of Jacobi and Gauss–Seidel parallel iterations,” Appl. Math. Let., 2, No. 2, 167–170 (1989), https://doi.org/10.1016/0893-9659(89)90014-1

K. H. Yang, Basic Finite Element Method as Applied to Injury Biomechanics, Elsevier Academic Press, London (2017).


Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.