Галуження розв’язків нелінійних рівнянь, які виникають у задачах синтезу плоских антенних решіток

M. I. Andriychuk

Анотація


У процесі розв’язання задач синтезу антен за заданими амплітудними характеристиками часто виникає необхідність застосування нелінійної спектральної теорії. Практична постановка задач синтезу полягає у використанні амплітуд шуканих функцій. Стандартним способом оптимізації євиведення рівняння Ейлера для функціонала, який використовується як критерій оптимізації. Як правило, таке рівняння є інтегральним і нелінійним зогляду на специфіку постановки задачі. Характерною для такого рівняння є неєдиність розв’язків і їхнє розгалуження або біфуркація. Знаходження розгалужених розв’язків вимагає дослідження відповідних однорідних рівнянь і відповідної задачі на власні значення. Дослідження задачі дозволяє визначити множину точок вхідних параметрів, у яких відповідні власні значення рівні одиниці, що визначає точки галуження розв’язків. Дані розрахунків свідчать про здатність запропонованого підходу чисельно визначати розв’язки нелінійних рівнянь, їхні властивості та точки галуження розв’язків з невеликими обчислювальними витратами.

 

Зразок для цитування: М. І. Андрійчук, “Галуження розв’язків нелінійних рівнянь, які виникають у задачах синтезу плоских антенних решіток,” Мат. методи та фіз.-мех. поля, 65, No. 1-2, 172–187 (2022), https://doi.org/10.15407/mmpmf2022.65.1-2.172-187


Ключові слова


нелінійні інтегральні рівняння, варіаційний підхід, діаграма напрямленості, нелінійна задача на власні значення, біфуркація розв’язків, числове моделювання

Посилання


M. I. Andriychuk, N. N. Voitovich, P. A. Savenko, V. P. Tkachuk, Antenna Synthesis According to the Amplitude Directivity Pattern. Numerical Methods and Algorithms [in Russian], Nauk. Dumka, Kiev (1993).

M. I. Andriychuk, V. F. Kravchenko, P. A. Savenko, M. D. Tkach, “Synthesis of plane radiating systems according to a given power directivity pattern,” Fiz. Osn. Priborostr., 2, No. 3, 40–55 (2013) (in Russian), https://doi.org/10.25210/jfop-1303-040055

O. O. Bulatsyk, M. M. Voitovych, B. Z. Katsenelenbaum, Yu. P. Topolyuk, Phase Optimization Problems: Applications in Wave Field Theory [in Ukrainian], Nauk. Dumka, Kyiv (2012); [in English] Wiley-VCH, Weinheim (2010).

M. M. Vainberg, V. A. Trenogin, Theory of Branching of Solutions of Nonlinear Equations [in Russian], Nauka, Moscow (1969).

V. F. Kravchenko, L. P. Protsakh, P. A. Savenko, M. D. Tkach, “Mathematical features of the synthesis of plane equidistant antenna arrays according to a given amplitude directivity pattern,” Antenny, No. 3, 34–45 (2010) (in Russian).

P. A. Savenko, L. P. Protsakh, “Implicit function method in solving a two-dimensional nonlinear spectral problem,” Izv. Vuz., Matem., No. 11(546), 41–44 (2007) (in Russian); English translation: Russian Math., 51, No. 11, 40–43 (2007), https://doi.org/10.3103/S1066369X07110060

P. O. Savenko, Nonlinear Synthesis Problems of Radiating Systems (Theory and Methods for Solution) [in Ukrainian], IAPMM NAS of Ukraine, Lviv (2002).

E. K. Sklyanin, “The method of the inverse scattering problem and quantum nonlinear Schrödinger equation,” Dokl. Akad. Nauk SSSR, 244, No. 6, 1337–1341 (1979) (in Russian).

L. B. Tartakovskii, V. K. Tikhonova, “Synthesis of linear emitter with a given amplitude distribution,” Radiotekhnika i Elektronika, 4, No. 12, 2016–2019 (1959) (in Russian).

Yu. Choni, "On antenna system synthesis according to a given amplitude pattern,” Izv. Vuz., Radioelektronika, 11, No. 12, 1325–1327 (1968) (in Russian).

M. I. Andriychuk, Antenna Synthesis Through the Characteristics of Desired Amplitude, Cambridge Scholars Publishing, Newcastle, UK (2019).

M. I. Andriychuk, P. O. Savenko, M. D. Tkach, “Synthesis of plane equidistant array according to power radiation pattern,” in: Proc. 17th Int. Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2012, September 24–27, 2012, Tbilisi), Lviv–Tbilisi (2012), pp. 68–74.

M. I. Andriychuk, N. N. Voitovich, “Antenna synthesis according to power radiation pattern with condition of norm equality,” Proc. 18th Int. Seminar/Work-shop on Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-2013, September 23–26, 2013, Lviv), Lviv–Tbilisi (2013), pp. 137–140.

M. Andriychuk, P. Savenko, M. Tkach, “Non-linear synthesis problems for plane radiating systems according to the prescribed power directivity pattern,” Open J. Antenn. Propag., 1, No. 2, 23–34 (2013), https://doi.org/10.4236/ojapr.2013.12006

M. Andriychuk, M. Voytovych, “Modified Newton method for antenna power synthesis problem with fixed norm of the pattern,” Zh. Obchysl. Prykl. Matem., No. 2(116), 3–10 (2014).

H. H. Bauschke, P. L. Combettes, D. R. Luke, “Phase retrieval, error reduction algorithm, and Fienup variants: A view from convex optimization,” J. Optical Soc. Am., 19, No. 7, 1334–1345 (2002), https://doi.org/10.1364/JOSAA.19.001334

R. E. Burge, M. A. Fiddy, A. H. Greenaway, G. Ross, “The phase problem,” Proc. R. Soc. London. A, 350, No. 1661, 191–212 (1976), https://doi.org/10.1098/rspa.1976.0103

D. Colton, A. Kirsch, “A simple method for solving inverse scattering problems in the resonance region,” Inverse Probl., 12, No. 4, 383–393 (1996), https://doi.org/10.1088/0266-5611/12/4/003

P. Deuflhard, Newton Methods for Nonlinear Problems. Affine Invariance and Adaptive Algorithms, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg (2004), Vol. 35 of Springer Ser. in Comput. Math.

A. S. Dumber, “On the theory antenna beam scanning,” J. Appl. Phys., 13, No. 5, 31–39 (1958).

J. R. Fienup, “Phase retrieval algorithm: a comparison,” Appl. Optics., 21, No. 15, 2758–2769 (1982), https://doi.org/10.1364/AO.21.002758

F. R. Gantmacher, The Theory of Matrices, Vol. 1, Chelsea Publ. Co., New York (1959).

H. A. Hauptman, D. A. Langs, “The phase problem in neutron crystallography,” Acta Crystallogr. A, 59, No. 3, 250–254 (2003), https://doi.org/10.1107/S010876730300521X

M. Ikehata, “Reconstruction of an obstacle from the scattering amplitude at a fixed frequency,” Inverse Probl., 14, No. 4, 949–954 (1998), https://doi.org/10.1088/0266-5611/14/4/012

K. Jittorntrum, “An implicit function theorem,” J. Optim. Theory Appl., 25, No. 4, 575–577 (1978), https://doi.org/10.1007/BF00933522

M. Masujima, Applied Mathematical Methods in Theoretical Physics, Wiley-VCH, Weinheim (2005), https://doi.org/10.1002/3527605843

V. Mehrmann, H. Vos, “Nonlinear eigenvalue problems: a challenge for modern eigenvalue methods,” GAMM-Mitteilungen, 27, No. 2, 121–152 (2004), https://doi.org/10.1002/gamm.201490007

R. Precup, Methods in Nonlinear Integral Equation, Kluver Acad. Publ., Dordrecht (2002), https://doi.org/10.1007/978-94-015-9986-3

A. G. Ramm, Multidimensional Inverse Scattering Problems, Longman Scientific & Wiley, New York (1992).

A. Ruhe, “Algorithms for the nonlinear eigenvalue problem,” SIAM J. Numer. Anal., 10, No. 4, 674–689 (1973), https://doi.org/10.1137/0710059

P. Savenko, “Computational methods in the theory of synthesis of radio and acoustic radiating systems,” Appl. Math., 4, No. 3, 523–549 (2013), https://doi.org/10.4236/am.2013.43078

P. Savenko, M. Tkach, “Numerical approximation of real finite nonnegative function by the modulus of discrete Fourier transform,” Appl. Math., 1, No. 1, 65–75 (2010), https://doi.org/10.4236/am.2010.11008

G. Taylor, “The phase problem,” Acta Crystallogr. D, 59, No. 11, 1881–1890 (2003), https://doi.org/10.1107/S0907444903017815

C. Y. Zenkova, M. P. Gorsky, P. A. Ryabiy, A. O. Angelskaya, “Additional approaches to solving the phase problem in optics,” Appl. Optics, 55, No. 12, B78–B84 (2016), https://doi.org/10.1364/AO.55.000B78


Повний текст: PDF

Посилання

  • Поки немає зовнішніх посилань.


Creative Commons License
Ця робота ліцензована Creative Commons Attribution 3.0 License.